Arithmétique de Peano

  En 1889, le mathématicien italien Peano répertoria les propriétés structurelles de l'ensemble des entiers naturels N, afin d'en donner une construction axiomatique. Les notions de départ de l'arithmétique de Peano sont le zéro et le successeur, à partir desquels Peano reconstruit toutes les propriétés de N. De manière informelle, les 5 axiomes de Peano pour définir N sont :

1. 0 est un entier naturel.
2. Tout entier naturel a possède un successeur, noté S(a).
3. Il n'existe pas d'entier naturel dont le successeur est 0.
4. Des nombres entiers distincts ont des successeurs distincts.
5. Si une propriété est vérifiée par 0 et si, pour tout entier naturel a qui la vérifie, S(a) la vérifie également, alors la propriété est vraie pour tous les entiers naturels.

Ce dernier axiome assure notamment le fait que l'on puisse faire des raisonnements par récurrence. L'addition et la multiplication sont alors définies par récurrence :

• Pour l'addition, a+0=a, et a+S(b)=S(a+b).
• Pour la multiplication, a×0=0, et a×S(b)=a×b+a.

Ainsi, si l'on écrit de façon formelle les axiomes, on obtient l'écriture suivante :

• Pour tout x, ( non( S(x) = 0 ) )
• Pour tout x, pour tout y, ( ( s(x) = s(y) ) => ( x = y ) )
• Pour tout x, x + 0 = x
• Pour tout x, pour tout y, ( x + s(y) = s(x+y) )
• Pour tout x, x * 0 = 0
• Pour tout x, pour tout y, ( x * s(y) = ( x* y ) + x )

Le besoin d'introduire une axiomatisation des entiers naturels correspond à un courant très fort dans les mathématiques de la fin du XIXè siècle. Sous l'impulsion de Frege, Russell, Hilbert, la logique doit venir au fondement des mathématiques.

Le 7 avril 1795, la Convention adopte le rapport du député Prieur de la Côte d'Or qui officialise le système métrique. Elle propose une unité de mesure universelle destinée à remplacer les unités locales.

La nouvelle unité, le mètre (du grec metron, mesure) est définie comme étant la dix millionnième partie du quart d'un méridien terrestre. C'est une révolution (mondiale) dans la Révolution (française) !

Histoire des fractions

En Mésopotamie

Vers 3000 avant J.C., dans la région de Sumer apparaissent les premières représentations de fractions pour des cas particuliers : 1/120 ;1/60 ;1/30 ;1/10 ; 1/5.

Au début du IIème millénaire avant J.C., les babyloniens utilisent une écriture, dite cunéiforme, qui permet de représenter des grands nombres mais également des cas particuliers de fractions. Le système de numération est sexagésimal (base 60) et combine le principe additif et le principe de position.
Dans cette écriture, les fractions se représentent avec des dénominateurs de 60 ou 3600 (60²).
Les nombreux diviseurs de 60 permettent de représenter facilement les fractions 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/12, 1/15, 1/20 ou 1/30.

Dans l’écriture babylonienne, il n'existe que deux symboles : le "clou vertical" et le "chevron". Les neuf premiers chiffres se représentent par répétitions de clous verticaux. 10 est représenté par le chevron. Pour écrire les nombres de 11 à 59, on répète les symboles autant de fois que nécessaire. Le nombre 60 se représente à nouveau par le clou. Cette règle s’applique pour les entiers comme pour les numérateurs de fractions.

Le système de numération babylonien, parfois ambiguë (voir exemple ci-dessous), n’empêche pas les astronomes d’effectuer des calculs sophistiqués lorsque plusieurs interprétations sont possibles. Le contexte leurs permet en général d’évaluer un ordre de grandeur du nombre et d’éviter ainsi la confusion.

En Egypte

Au IIIème millénaire avant J.C., en Egypte, les scribes écrivent les nombres sur des papyrus sous forme de hiéroglyphes. Les égyptiens utilisent un système de numération (reposant sur le principe additif). Ils représentent les fractions de type 1/n (fractions unitaires) en plaçant le symbole de bouche au dessus du dénominateur.

Seules certaines fractions disposent de symboles spécifiques. Il s’agit de 1/2, 1/3, 2/3 et 1/4 :

Toutes les fractions sont ainsi exprimées comme somme de fractions unitaires. On peut expliquer ce choix par soucis de grande précision.
Par ailleurs, la décomposition n’est pas nécessairement la plus simple possible car elle doit se faire avec des fractions différentes. On privilégiera par exemple 3/5 = 1/10 + 1/2 devant 3/5 = 1/5 + 1/5 + 1/5.
Dans leur système d’écriture, la duplication (multiplication par 2) joue alors un rôle essentiel. Les égyptiens disposent d’ailleurs de tables de décomposition du double d’une fraction donnée.
Dans le langage d’aujourd’hui, 2/7 se décomposerait ainsi :
2/7 = 1/7 + 1/7
= 1/14 + 1/14 + 1/7
= 1/28 + 1/28 + 1/14 + 1/7
= 1/28 + (1/28 + 1/14 + 1/7)
= 1/28 + 1/4
La dernière réduction s’obtient à l’aide d’une table de décomposition.
Le célèbre papyrus Rhind s’ouvre sur une table de ce type. On y trouve des décompositions de fractions de type 2/n (n impair) en fractions unitaires.

A propos des fractions égyptiennes, il existe un épisode sanglant de la mythologie : Seth, le dieu de la violence et incarnation du mal, arrache l’œil à Horus, dieu à tête de faucon et à corps d’homme. Cet œil qui est appelé Oudjat, Seth le partage en six morceaux et les repend à travers l’Egypte. Thot, le dieu magicien à tête d’ibis reconstitue l’œil, symbole du bien contre le mal. Chacune de ses parties symbolise une fraction de numérateur 1 et de dénominateurs 2, 4, 8, 16, 32 et 64 (voir représentation sur l’image). Mais la somme de ces parts n’est pas égale à 1 (l’œil entier). Thot accordera le 64ème manquant à tout scribe recherchant et acceptant sa protection.

En Grèce

Au Vème siècle avant J.C., les grecs possèdent un système de numération alphabétique et apportent des progrès non négligeables à l’écriture fractionnaire des nombres. Pour eux, un nombre est nécessairement associé à une grandeur géométrique. Leur conception de nombre rationnel s’accorde ainsi à un rapport de longueurs. Bien que leurs notations soient un peu lourdes, les grecs effectuent des calculs fractionnaires compliqués.
Certaines fractions unitaires sont notées par le symbole correspondant au nombre du dénominateur muni d’un ou deux accents.
Par exemple, 1/3 se note : γ’.
D’autres fractions se notent par le numérateur marqué d’un accent suivi du dénominateur marqué de deux accents. D'autres encore possèdent un nom qu'il leurs est propre.

Histoire des nombres négatifs

La longue saison hivernale et ses températures « basses » initient très jeunes les enfants au concept de quantités négatives. Autant la notion de nombre décimal les trouble qu’ils assimilent naturellement celle de nombre négatif. Le thermomètre offre de surcroît un axe gradué opportun entraînant l’esprit au rangement ordonné de ces nombres. Bien qu’on ne les trouve pas dans la nature, ils font aujourd’hui partie intégrante de notre environnement et nous ne sommes pas étonnés de les considérer comme des nombres à part entière. Pourtant leur introduction dans le langage des mathématiques fut lente et mainte fois remise en cause. Ils naissent des besoins de la comptabilité (calculs de gains et de dettes). Il semblerait que les premiers à avoir utilisé des quantités négatives soient les chinois. Nous sommes au deuxième siècle avant J.C. et nous ne parlons pas encore de « nombre » car ils n’en ont pas acquis le statut !

Le « Jiuzhang suanshu » ou les « Neuf chapitres sur l’art du calcul » est un ouvrage chinois datant de 200 avant JC et composé de 246 problèmes ayant pour but de fournir des méthodes pour résoudre les problèmes quotidiens de l'ingénierie, de l'arpentage, du commerce et de la fiscalité. Les calculs s'effectuent en utilisant des baquettes à calculer, les positifs sont représentés par des baguettes rouges, les négatifs pas des baguettes noires. Liu Hui (220 ; 280) explique et enseigne l’arithmétique liée à ses baguettes de calcul. Les « Neuf chapitres » contiennent certains problèmes équivalant dans le langage d'aujourd'hui à des système d'équations linéaires à plusieurs inconnues. Les nombres négatifs y sont utilisés dans la résolution par combinaison de lignes proche de la méthode actuelle de Gauss. Liu Hui Mais c’est le plus souvent au mathématicien indien Brahmagupta (598 ; 660) que l’on attribue la découverte des «nombres» négatifs. Sans justification, il donne des règles de calcul permettant d’expliciter des débits dans les comptes. « Une dette retranchée du néant devient un bien, un bien retranché du néant devient une dette. » Dans sa théorie de résolution des équations (muadala), le perse Mohammed al Khwarizmi (780 ; 850) accepte les termes négatifs dans les équations mais s’attache à s’en débarrasser au plus vite. Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de l’équation. Pour lui, une équation ne peut avoir de solution négative. C’est aussi par la résolution d’équations que les quantités négatives feront leur entrée en occident. Le français Nicolas Chuquet (1445 ; 1500) est un des premiers à isoler une valeur négative dans un membre d’une équation. On les retrouve également dans les travaux du mathématicien italien Gerolamo Cardano (1501 ; 1576), au nom francisé de Jérôme Cardan. En 1629 dans "Invention nouvelle en algèbre", Albert Girard s’en inspire pour admettre l’existence de racines négatives ou imaginaires dans une équation. L’introduction des quantités négatives en occident est cependant difficile et connaît en prime l’obstacle du zéro. De nombreux mathématiciens de l’époque distinguent difficilement le zéro relatif du zéro absolu en dessous duquel rien n’existe. Tel est le cas du mathématicien et ingénieur Lazare Carnot (1753 ; 1823) : « Pour obtenir réellement une quantité négative isolée, il faudrait retrancher une quantité effective de zéro, ôter quelque chose de rien : opération impossible. Comment donc concevoir une quantité négative isolée ? » « L’usage des nombres négatifs conduit à des conclusions erronées. » "Géométrie de la position", 1803. Lazare Carnot Maison natale de Carnot à Nolay En 1591, François Viète (1540 ; 1603) publie "In artem ananyticam isagoge" dans lequel il pose les bases du calcul littéral. A cette époque encore, les lettres ne représentent que des quantités positives et les solutions négatives des équations sont écartées. En 1637 dans "La géométrie", René Descartes (1596 ; 1650) qualifie de "moindres que rien" de telles solutions : « En chaque équation autant que la quantité inconnue a de dimensions, autant peut-il y avoir de diverses racines : mais souvent il arrive que ces racines soient fausses ou moindres que rien. » En géométrie analytique, Descartes place ses axes de façon qu’il n’ait pas à faire intervenir de coordonnées négatives. Il faudra attendre l’écossais Colin Maclaurin (1698 ; 1746) puis le suisse Leonhard Euler (1707 ; 1783) pour voir apparaître des axes aux coordonnées positives et négatives. Colin Maclaurin C’est ce même Maclaurin qui exprime en 1742 dans son "Traité des Fluxions" ce doute planant encore sur l’adhésion par les mathématiciens pour les quantités négatives : « L’usage du signe négatif en algèbre donne lieu à plusieurs conséquences qu’on a d’abord peine à admettre et ont donné l’occasion à des idées qui paraissent n’avoir aucun fondement réel. » Il faut dire qu’à cette époque les besoins pour les sciences des quantités négatives sont plutôt rares. En 1741, le physicien suédois Anders Celsius (1701 ; 1744) fait construire un thermomètre à mercure dont le 0 est définit par le point de congélation de l’eau et le 100 son point d’ébullition. Il faudra pourtant attendre le début du XIX ème siècle pour que les températures négatives rentrent dans les mœurs. Daniel Gabriel Fahrenheit (1686 ; 1736) conçoit en 1715 un thermomètre pourvu d’une graduation évitant les températures négatives. Progressivement, les négatifs sont soumis à des règles de calcul en prolongeant celles existant pour les nombres positifs. En 1746 dans "Eléments d’algèbre", le mathématicien et astronome français Alexis Clairaut (1713 ; 1765) donne quelques-unes de ces règles et exprime la nuance entre le signe d’un nombre et celui de l’opération : « On demandera peut-être si on peut ajouter du négatif avec du positif, ou plutôt si on peut dire qu’on ajoute du négatif. A quoi je réponds que cette expression est exacte quand on ne confond point ajouter avec augmenter. Que deux personnes par exemple joignent leurs fortunes, quelles qu’elles soient, je dirai que c’est là ajouter leurs biens, que l’un ait des dettes et des effets réels, si les dettes surpassent les effets, il ne possédera que du négatif, et la jonction de la fortune à celle du premier diminuera le bien de celui-ci, en sorte que la somme se trouvera, ou moindre que ce que possédait le premier, ou même entièrement négative. » Au début du XIXème siècle encore, les négatifs n’ont pas acquis le statut de « nombre ». Un nombre est nécessairement positif. Une quantité, telle une dette, peut prendre une valeur négative en la définissant par opposition à une quantité positive. Mais cette quantité n’est pas considérée comme un nombre en tant que tel. En 1821, Augustin Louis Cauchy (1789 ; 1857) dans son "Cours d’analyse de l’Ecole royale polytechnique" définit les nombres relatifs comme une partie numérique précédée d’un signe + ou -. « Le signe + ou – placé devant un nombre en modifiera la signification, à-peu-près comme un adjectif modifie celle du substantif. » Augustin Louis Cauchy Avec le développement des nombres complexes dans l’univers des mathématiques, l’allemand Hermann Hankel (1839 ; 1873) donne enfin aux nombres et en particulier aux nombres relatifs le statut d’objet formel obéissant à des règles préétablies.