• Etude globale d'une suite

    Par CHAVADRIEN le 28 Janvier 2016 à 22:11

    Les suites

    Etude globale d'une suite

    A

    Définition

    Suite numérique

    Une suite numérique est une fonction de  ℕ dans  ℝ.

    La fonction définie pour tout entier naturel  n par  u(n)=2n+1 est une suite.
     
    • Pour désigner la suite  u, on peut écrire  (un).
    • L'écriture  un désigne en revanche le terme de rang  n de la suite  u, c'est-à-dire  u(n).
     

    Modes de génération d'une suite

    Il existe trois façons de définir une suite.

    1. Définition explicite
    La suite  (un) est définie directement par son terme général :

     un=f(n)

    où f est une fonction au moins définie sur  ℕ

    2. Définition par récurrence
    Soient  f une fonction définie sur  ℝ et un réel  a, une suite  (un) peut être définie par récurrence par :

    •  u0=a
    • pour tout entier n :  un+1=f(un)

    3. Définition implicite
    La suite  (un) est définie par une propriété géométrique, économique... au sein d'un problème.

     
     
    B

    Le sens de variation

    Suite croissante

    La suite  (un) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel  n pour lequel  un est défini :

     un+1≥un

    Considérons la suite  (un) définie par récurrence par :

    •  u0=12
    •  un+1=(un)2+un pour tout entier n

    On a, pour tout entier naturel n :

     un+1−un=(un)2.

    Or :

     (un)2≥0

    Donc, pour tout entier naturel n, on a :

     un+1−un≥0

    Ainsi, pour tout entier naturel n :

     un+1≥un

    Donc la suite  (un) est croissante.

     

    Suite strictement croissante

    La suite  (un) est strictement croissante si, et seulement si, pour tout entier naturel  n pour lequel  un est défini :

     un+1>un

     

    Suite décroissante

    La suite  (un) est décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel  n pour lequel  un est défini :

     un+1≤un

    Considérons la suite définie pour tout entier n par :

     un=1n 

    Pour tout entier naturel n non nul, on a :

     un+1−un=1n+1 −1n =n−(n+1)n(n+1) =−1n(n+1) 

    Or, pour tout entier naturel n non nul, on a :

     −1n(n+1) <0

    Donc, pour tout entier naturel n non nul :

     un+1−un≤0

    Et ainsi, pour tout entier naturel n non nul :

     un+1≤un

    Par conséquent la suite  (un) est décroissante.

     

    Suite strictement décroissante

    La suite  (un) est strictement décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel  n pour lequel  un est défini :

     un+1<un

     

    Suite constante

    La suite  (un) est constante si et seulement si, pour tout entier naturel  n pour lequel  un est défini :

     un+1=un

     

    Suite monotone

    La suite  (un) est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens).

     
     
     
    II

    Les suites particulières

    A

    Les suites arithmétiques

    Suites arithmétiques

    Une suite  (un) est arithmétique s'il existe un réel  r tel que, pour tout entier  n où elle est définie :

     un+1=un+r

    On considère la suite définie par :

    •  u0=1
    •  un+1=un−2, pour tout entier n

    On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant −2.

    Cette suite est ainsi arithmétique.

     

    Raison

    Le réel  r est appelé raison de la suite.

    Dans l'exemple précédent, la suite était arithmétique de raison −2.

     

    Terme général d'une suite arithmétique

    Soit  (un) une suite arithmétique de raison  r, définie à partir du rang  p.
    Pour tout entier  n supérieur ou égal à  p, son terme général est égal à :

     un=up+(n−p)r

    En particulier, si  (un) est définie dès le rang 0 :

     un=u0+nr

    On considère la suite arithmétique u de raison  r=−2 et de premier terme  u0=3.

    On a alors, pour tout entier naturel n :  un=3−2n

     

    Somme des termes d'une suite arithmétique

    Soit  (un) une suite arithmétique.
    La somme de termes consécutifs de cette suite est égale à la demi-somme du premier et du dernier terme multipliée par le nombre de termes. En particulier :

     u0+u1+u2+...+un=(n+1)(u0+un)2 

    Soit  (un) une suite arithmétique raison  r=8 et de premier terme  u0=16.

    Son terme général est donc  un=16+8n.

    On souhaite calculer la somme suivante :

     S=u0+u1+u2+⋅⋅⋅+u25

    D'après la formule, on a :

     S=(25+1)(u0+u25)2 

    Soit :

     S=26×(16+16+8×25)2 =3 016

     
    En particulier, pour tout entier naturel non nul  n :

     

     1+2+3+...+n=n(n+1)2 

     1+2+3+⋅⋅⋅+15=15×(15+1)2 =120

     
     
    B

    Les suites géométriques

    Suite géométrique

    Une suite  (un) est géométrique s'il existe un réel  q tel que, pour tout entier  n où elle est définie :

     un+1=un×q

    On considère la suite définie par son premier terme  u0=1 et par, pour tout entier naturel n :

     un+1=3un

    On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en multipliant par 3.

    Cette suite est ainsi géométrique.

     

    Raison

    Le réel  q est appelé raison de la suite.

    Dans l'exemple précédent, la suite était géométrique de raison 3.

     

    Terme général d'une suite géométrique

    Soit  (un) une suite géométrique de raison  q, définie à partir du rang  p.
    Pour tout entier  n supérieur ou égal à  p, son terme général est égal à :

     un=up×qn−p

    En particulier, si  (un) est définie dès le rang 0 :

     un=u0×qn

    On considère une suite u géométrique de raison  q=2 et de premier terme  u0=3.

    On a alors, pour tout entier naturel n :  un=3×2n

     

    Somme des termes d'une suite géométrique

    Soit  (un) une suite géométrique de raison  q≠1, définie pour tout entier naturel  n :

     u0+u1+u2+...+un=u01−qn+11−q 

    Plus généralement, pour tout entier naturel  p<n :

     up+up+1+up+2+...+un=up1−qn−p+11−q 

    Soit  (un) une suite géométrique de raison  q=5 et de premier terme  u0=4.

    On souhaite calculer la somme suivante :

     S=u0+u1+u2+⋅⋅⋅+u25

    D'après la formule, on sait que :

     S=u0×1−q25+11−q 

    Ainsi :

     S=4×1−5261−5 =526−1

     

    En particulier, pour tout réel  q différent de 1 et tout entier naturel non nul  n :

     1+q+q2+...+qn=1−qn+11−q 

     1+3+32+33+⋅⋅⋅+352=1−3521−3 =−12 +12 ×352

     

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  • Suites numeriques / généralités

    Par CHAVADRIEN le 28 Janvier 2016 à 21:55

    1. CALCUL DE UN

    Théorème :
    Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tous les entiers naturels n et p, on a :
    un = u0 + nr et un = up + (n - p) r.

    Démonstration :
    (un) est une suite arithmétique de raison r. Donc, pour tout entier naturel n, on a :
    un = un-1 + r
    un-1 = un-2 + r
    ...
    u2 = u1 + r
    u1 = u0 + r
    En additionnant ces n égalités membre à membre, on obtient :
    un + un-1 + ... + u2 + u1 = un-1 + r + un-2 + r + ... + u1 + r+ + u0 + r
    soit : un = u0 + nr

    (un) est une suite arithmétique de raison r. Donc, pour tous entiers naturels n et p, on a :
    un = u0 + nr et up = u0 + pr
    En soustrayant ces deux égalités, on obtient : un - up = u0 + nr - u0 - pr
    soit : un = up + (n - p)r

    Remarques :
    La première formule n'est qu'un cas particulier de la seconde.
    Si un = an + b, alors (un) est une suite arithmétique de raison a et de premier terme u0 = b.


    2. SOMME DES N PREMIERS TERMES

    Cas particulier :
    La somme des n premiers entiers naturels non nuls est égale à \dfrac{n(n + 1)}{2}

    Démonstration :
    Soit S la somme des n premiers entiers naturels non nuls, S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) + (n - 1) + n.
    Sur une première ligne, écrivons la somme dans l'ordre croissant, puis sur une deuxième ligne, la somme dans l'ordre décroissant :
    \begin{array}{ccccccccccccc} S = 1&+&2&+&3&+&...&+&(n - 2)& + &(n - 1)& + &n\\ S = n& + & (n - 1) & + & (n - 2) & + & ... & + & 3 & + & 2 & + & 1\end{array}
    En sommant ces deux égalités, on obtient :
    2S = (1 + n) + (2 + n - 1) + (3 + n - 2) + ... + (n - 2 + 3) + (n - 1 + 2) + (n + 1)
    soit 2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + ... + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)
    donc : 2S = n(n + 1)
    D'où : S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) + (n - 1) + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}
    Théorème :
    Si (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0,
    alors pour tout entier n : S = u0 + u1 + ... + un-1 = n \dfrac{u_0 + u_{n-1}}{2} = n \dfrac{2u_0 + r(n - 1)}{2}
    S est appelée la somme des n premiers termes de la suite (un). Elle est égale au produit du nombre de termes par la demi-somme des termes extrêmes.

    Démonstration :
    Les n premiers termes de la suite arithmétique (un) sont u0; u1 = u0 + r; u2 = u0 + 2r; ...; un-3 = u0 + (n - 3)r; un-2 = u0 + (n - 2)r et un-1 = u0 + (n - 1)r. Donc :
    S = u0 + u1 + u2 + ... + un-3 + un-2 + un-1
    S = u0 + (u0 + r) + (u0 + 2r) + ... + (u0 + (n - 3)r) + (u0 + (n - 2)r) + (u0 + (n - 1)r)
    S = nu0 + r + 2r + ... + (n - 3)r + (n - 2)r + (n - 1)r
    S = nu0 + r[1 + 2 + ... + (n - 3) + (n - 2) + (n - 1)]
    Or, on a vu que 1 + 2 + ... + (n - 2) + (n - 1) = \dfrac{(\text{n} - 1)\text{n}}{2}. Donc :
    S = \text{n}u_0 + \dfrac{r(\text{n} - 1)\text{n}}{2}\\ S = \text{n} \dfrac{2u_0 + r(\text{n} - 1)}{2}\\ S = \text{n}\dfrac{u_0 + u_{\text{n} - 1}}{2}

     SUITES GÉOMÉTRIQUES

    1. DÉFINITION

    Définition :
    Une suite (un) est géométrique si il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n, un+1 = q un.
    q est appelé raison de la suite.

    2. CALCUL DE UN

      Théorème:
    Si (un) est une suite géométrique de raison q, alors pour tous les entiers naturels n et p :
    un = u0 qn et un = up qn-p

    Démonstration :

    Remarques :
    la première formule n'est qu'un cas particulier de la seconde;
    si un = b an, alors (un) est une suite géométrique de raison a et de premier terme u0 = b.


    3. SOMME DES N PREMIERS TERMES

    Cas particulier :
    La somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q (q \neq 1) et de premier terme 1 est égale à 1 + q + ... + q^{n-1} = \dfrac{1 - q^n}{1 - q}

    Démonstration :
    Soit S la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q (q \neq 1), S = 1 + q + q² + ... + qn-3 + qn-2+ qn-1.
    Donc : qS = q + q² + q3 + ... + qn-2 + qn-1 + qn
    Donc : qS = S - 1 + qn
    Donc : (1 - q)S = 1 - qn
    Or, q \neq 1, donc 1 - q \neq 0.
    Donc : S = \dfrac{1 - q^n}{1 - q}
    Théorème :
    Si (un) est une suite géométrique de raison q (q \neq 1) et de premier terme u0,
    alors alors pour tout entier n : S = u0 + u1 + ... + un-1 = u_0 \dfrac{1 - q^n}{1 - q}
    S est appelée la somme des n premiers termes de la suite (un).

    Démonstration :
    Les n premiers termes de la suite géométrique (un) sont u0; u1 = qu0; u2 = q²u0; ...; un-3 = qn-3u0; un-2 = n-2u0 et un-1 = n-1u0. Donc :
    S = u0 + u1 + u2 + ... + un-3 + un-2 + un-1
    S = u0 + qu0 + q²u0 + ... + qn-3u0 + qn-2u0 + qn-1u0
    S = u0(1 + q + q² + ... + qn-3 + qn-2 + qn-1)
    Or, on a vu que 1 + q + q² + ... + qn-3 + qn-2 + qn-1 = \dfrac{1 - q^n}{1 - q}. Donc :
    S = u_0 \dfrac{1 - q^n}{1 - q}

    Remarque : Dans le cas où q = 1, la suite géométrique (un) est constante : elle est toujours égale à u0.
    On a alors : S = u0 + u1 + ... + un-2 + un-1 = n u0

     COMPORTEMENT À L'INFINI

    1. CONVERGENCE VERS L

    Les suites de terme général \dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{n^2}, \dfrac{1}{n^3}, \dfrac{1}{\sqrt{n}}, an avec -1 < a < 1,
    convergent vers 0 et on note alors : \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = 0.


    Théorème de comparaison 5 :
    Si, à partir d'un certain rang, |u_n - l| \le v_n et si \displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n = 0,
    alors (un) converge vers l et on note : \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = l.


    Théorème 6 :
    Si, à partir d'un certain rang, u_n \le v_n \le w_n et si :
    \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = \lim_{n\to+\infty}w_n = l,
    alors \displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n = l.


    Remarques :
    Les deux inégalités sont indispensables pour conclure.
    Si (un) et (wn) convergent vers des réels distincts, on ne peut rien dire pour (vn).


    2. DIVERGENCE VERS L'INFINI

    Les suites de terme général n, n², n3, \sqrt{\text{n}}, an avec a>1, divergent vers +\infty et on note :
    \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = +\infty
    Une suite (un) diverge vers -\infty si la suite (-un) diverge vers +\infty et on note alors :
    \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = -\infty


    Théorème de comparaison 7 :
    Si, à partir d'un certain rang, u_n \ge v_n et si \displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n = +\infty, alors \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = +\infty.
    Si, à partir d'un certain rang, u_n \le v_n et si \displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n = -\infty, alors \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = -\infty.


    Remarque :
    Il existe des suites qui divergent, sans avoir de limite infinie, par exemple :un = (-1)n.


    3. OPÉRATIONS

    Les règles opératoires sur les limites de suites (somme, produit, quotient) sont les mêmes que pour les limites en +\infty d'une fonction.
     
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  • COMPO 2AS / 1er TRIM / DEM

    Par CHAVADRIEN le 22 Décembre 2014 à 19:19

    COMPO 2AS / 1er TRIM / DEM

    COMPO 2AS / 1er TRIM / DEM

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  • Sujets de compositions ( suite )

  • SUJETS DE COMPO 1 T